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矩阵的对角化，是指通过一个可逆P，将方阵A进行对角化，以简化矩阵对应的变换
本文讲解矩阵对角化的定义、本质与目的，并展示对角化的具体流程和代码实现
通过本文，可以了解什么是矩阵的对角化，对角化是为了什么，以及如何将矩阵对角化
本节讲解什么是矩阵的对角化,包括它的定义与本质
矩阵对角化的定义
矩阵的对角化是指：
对于矩阵A，求一个可逆P，使得是一个对角矩阵
数学表述如下：
其中，是一个对角矩阵
一般地，把 的各列称为A的特征向量
对角上的元素称为矩阵A的特征值
备注：矩阵的对角化只相对方阵而言，且，不是所有方阵都能对角化
如何理解矩阵对角化
矩阵与线性变换
不太严谨地说，变换就是把空间的一个向量，线性映射到该空间的另一个向量之中
线性变换可以使用矩阵来描述，对应地，每个矩阵，背后都指代着一个线性变换
如下所示，矩阵A所代表的变换，将向量(1,0)变换到了(1.5,0)中
因此每个矩阵A，都可以当作某个变换的数学描述
备注：矩阵A并不完全等价于变换，因为是绝对的，而A只是它的其中一种表述
如何理解矩阵的对角化
由可得：
即对于P的每一列都有：
即P的每一列在矩阵A指代的线性变换下，都保持方向不变，只是长度进行了的伸缩
所以矩阵的对角化，实际就是找出n个向量，这n个向量在A的变换下只进行伸缩
这n个在变换A下不变的向量，称为A的特征向量，它们的伸缩倍数则称为A的特征值
本节讲解矩阵对角化的基本目的，从而知道为什么要将矩阵对角化
矩阵对角化的基本目的
矩阵对角化的最基本目的是为了揭示矩阵A所对应的变换是个什么东西
由于A特征向量(即P)在变换A下只进行简单的伸缩
因此，如果把特征向量(即P)作为基，则可以简化变换
对于任意向量q，记它在基P下的坐标为，则：
由于每个在A所指代的线性变换下只进行简单的伸缩
因此有：
可得，的坐标为
因此，站在基P的角度来看，变换就是将变换为
即，站在基P的角度来看，
A所指代的变换表示为，它仅仅是将第i维进行的伸缩
因此，矩阵A对角化的意义就是，找出一个基P，使得在基P的视角下，变换A是一个对角变换
即矩阵对角化，可以换一个视角来简化变换A，从而更简单地、更本质地来研究、使用A
矩阵对角化的基本目的-举例
下面通过一个例子，展示矩阵对角化，是如何清晰的抓住矩阵对应的线性变换的特性的
设
将A进行对角化，可得：
未对角化前对线性变换的认识
以向量q = [1,0]为例，如果直接看A，
那么只知道它所指代的变换，会将q变换到，如下
光是这样看，是很难了解A所指代的变换的特性的，只知道它把(1,0)变换到了(1.5,0.5)
对角化后对线性变换的认识
通过对角化后，可得到，以P为基，则有：
以P为基，变换其实就是将q点的P1、P2方向伸缩2、1倍
因此，变换在原来坐标系的表示为A，很难理解是个什么样的变换
而用P作为基，则就只是在各个坐标轴中进行伸缩的变换，一下子就简单得多了~
一个矩阵如果可以对角化，则说明它背后所指的变换实质是某组基下的伸缩变换
而变换总是各种各样的，并不永远都是伸缩变换，所以不会所有的矩阵都能对角化
本节展示如何对矩阵进行对角化,以及代码实现方法
矩阵对角化的理论方法
矩阵对角化的思路
由于对于每个特征向量有：
因此有：
即：
上式说明线性相关，因此：
而展开后是一个关于的n次多项式，即
求解多项式求得多个
将各个特征值代入，就可以解得对应的特征向量
矩阵对角化-例子解说
以 为例，将它对角化的实操过程如下：
1. 计算特征多项式
2. 求解特征值
由解得：
3. 求解特征向量
(1) 将代入 ，可得：
解得特征向量
(2) 将代入 ，可得：
解得特征向量
4. 组装与单位化P
将两个特征向量按列组装，可得到
进一步将它按列单位化后得到：
5. 验证
可进一步验证：
矩阵对角化-代码实现
在python中可以使用numpy来实现矩阵的对角化
具体代码示例如下：
import numpy as np
A = np.array([[1.5,0.5],[0.5,1.5]]) # 准备进行对角化的矩阵A
d,P = np.linalg.eig(A) # 计算特征值和特征向量
L = np.linalg.inv(P) @ A @ P # 对角化A
print("\n原始矩阵A:\n",A) # 打印原始矩阵A
print("\n特征向量矩阵P:\n",P) # 打印特征向量矩阵P
print("\n对角化后的特征值L:\n",L) # 打印对角化后的特征值L代码运行结果如下：
可以看到，使用矩阵P对A进行对角化后，得到了对角矩阵L
好了，以上就是矩阵的对角化，以及它的意义和对角化流程了~
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