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分块矩阵的求逆公式

作者 : 老饼 发表日期 : 2023-01-27 05:25:39 更新日期 : 2023-01-27 06:13:30
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本文讲解分块矩阵求逆时的公式及其推导

本文提供了两种公式形式,及它们各种的详细推导过程



    01. 分块矩阵的求逆公式    


本节展示分块矩阵求逆的公式,共两种形式


     分块矩阵的求逆公式    


矩阵A分块如下
 
记A的逆为B
则B共有两种公式表示
 必要条件:需要A11,A22的逆存在
 
求逆公式(形式一)
  

其中,

求逆公式(形式二)


其中, 





   02. 形式一推导过程   


本节展示分块矩阵求逆公式形式一的详细推导进程


    形式一推导过程    


设 是A的逆

则有

 

展开即有 :
(1)  
(2)    
(3)    
(4) 

1. 用(2)(4)式共同消掉B12,从而求得B22
 

 
 
 2. 将B22代入(2)式求得B12 
 
 
 备注:(2)式右边为0,比(4)式更简洁,故代入(2)而不是(4)
 
 3. 用(1)(3)式消掉B11,从而求得B21
 

 

注意到与 有共同元素,可以用简化: 
 

 ✍️备注
第4个等式乘以 是为了去掉逆矩阵
不选择是因为在求时已经使用了的逆,消或不消没有太大意义

4. 将B21代入(1)式求得B11 
 
✍️备注
 代入(3)式,结果需要求A21的逆,故代入(1)式
(1)式虽然要求
的逆,但的逆在其它式中已经使用了,并不增加计算量
结果整理
统一记 ,则整理可得
                                             
 
 
  

最终得到


其中
 




  03. 形式二推导过程  


本节展示分块矩阵求逆公式形式二的详细推导进程


    形式二推导过程    


设 是A的逆
则有


展开即有 :
(1) 
(2)    
(3)    
(4) 

1. 用(1)(3)式共同消掉B21,从而求得B11

 
 2.  将B11代入(3)式求得B21
 

 

3. 用(2)(4)式消掉B22 ,从而求得B12
 

 

4. 将B12代入(4)式求得B22
 
结果整理
统一记  为
则有


最终得到:

其中
 




    参考文献    


【1】《分块矩阵求逆公式及证明》:https://www.doc88.com/p-1935040612981.html (备注:文中第二种形式是错误的)

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